BARISAN DAN DERET GEOMETRI

BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri merupakan barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan satu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu sering disebut sebagai pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan r.

Barisan U1 , U2 , U3 , U4 , ….. , Un disebut sebagai barisan geometri jika memenuhiRasio

Contoh barisan geometri :
7, 21, 63, 189, ....
3, 6, 12 , 24, 48 ,. . . .

Rumus Suku ke-n

Jika suku pertama ( U1 ) dari suatu barisan geometri disimbolkan dengan a , maka rumus suku ke-n barisan geometri dapat ditentukan sebagai berikut:

Dari pernyataan diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah

Dimana r adalah rasio atau pembanding yang dapat dicari dengan cara berikut:

Contoh Soal :

1. Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!


2. Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!


3. Dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256, maka tentukan U12!


4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 35, sedangkan hasil kali ketiga bilangan itu sama dengan 1.000. Maka tentukan barisan geometri tersebut!

Jawab :

1. Dari Barisan 3, 6, 12, ... didapat a = 3 dan r = 6/3 = 2 sehingga,

Un = a.r^n-1
U7 = 3.2
U7 = 3.2⁶
U7 = 3.64
U7 = 192

1. Dari barisan 48, 24, 12, .... didapat a = 48 dan r = 24/48 = 1/2 sehingga,

Un = a.r^n-1
Un = 48.(1/2)^n-1
Un = 48.(1/2)^n-1
Un = 48.(2^-1)^1-n
Un = 3.16.(2)^1-n
U7 = 3.2⁴(2)^1-n
U7 = 3.2^5-n


2. Pertama, kita jabarkan terlebih dahulu U3 dan U9 kemudian kita cari nilai rasionya
   
   U3 = 4 → a.r² = 4
   U9 = 256 → a.r⁸ = 256

Kemudian substitusikan untuk mencari U1 atau a!

→ a.r² = 4
→ a.2² = 4
→ a = 1
Next, cari nilai U12 dengan menggunakan rumus umum barisan geometri!
U₁₂ = a.r^n-1
U12 = 1.2¹¹
U12 = 1.2048
U12 = 2048

3. jawaban soal no 4

DERET GEOMETRI

Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: a_n = a₁r^{n – 1}, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,

Jika kita mengalikan deret tersebut dengan –r kemudian menjumlahkannya dengan deret aslinya, kita mendapatkan

Sehingga kita memperoleh Sn – rSn = a1 – a1rn. Dengan menyelesaikan persamaan tersebut untuk Sn, kita mendapatkan

Rumus suku ke n



Contoh Soal:

1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 32 + 16 + 8 + ….!
2. Tentukan nilai n yang memenuhi2 + 2² + 2³ + ….. + 2ⁿ = 510!

Jawab:

1. Dari deret 32 + 16 + 8 + .... didapat a = 32 dan r = 1/2, sehingga

2. Dari deret 2 + 2² + 2³ + ….. + 2ⁿ = 510 didapat a = 2 dan r = 2, sehingga

Soal No. 3
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
U_n = ar^{n −1}

dimana
a = suku pertama
r = rasio

Dari soal
a = 3
r = ⁶/₃ = 2

sehingga
U_n = arⁿ⁻¹
U₅ = 3 (2)^{5 −1} = 3 (2)⁴ = 3(16) = 48

Soal No. 4
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!

Pembahasan
Data dari soal di atas
U₅ = 324
a = 4

Dari U_n = ar^{n −1}

Dengan demikian rasionya adalah 3 atau − 3

Soal No. 5
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ....
Tentukan U₃ + U₅

Pembahasan
U₃ = 3
a = 12
r = ⁶/₁₂ = ¹/₂

Un = ar^{n −1}
U₅ = 12(1/2)^{5 −1} = 12(1/2)⁴ = 12(1/16) = 12/16 = 3/4

Sehingga
U₃ + U₅ = 3 + ³/₄ = 3 ³/₄

Soal No. 6
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 3
r = ⁶/₃ = 2
S₇ =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1


Sehingga:










Soal No. 7
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 24
r = ¹²/₂₄ = ¹/₂
S₇ =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1

 Sehingga:


 


















soal no 8

Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian yang panjangnya membentuk barisan geometri.
Jika tali yang paling pendek adalah 10 cm dan tali yang paling panjang adalah 160 cm, tentukan panjang tali semula.

Penyelesaian:

Diketahui potongan-potongan tali membentuk barisan geometri, dengan:
panjang tali terpendek = U1 = a = 10
panjang tali terpanjang = U5 = ar4 = 160
banyak bagian tali = n = 5

Ini berarti panjang tali semula adalah jumlah panjang kelima bagian tali (S5).

Mula-mula tentukan nilai r dengan mengganti a = 10, n = 5 dan U5 = 160 ke rumus Un.

Selanjutnya tentukan panjang panjang tali semula (S5) yaitu

Jadi, panjang tali semula adalah 310 cm.

soal no 9

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter. Kemudian bola tersebut memantul kembali setinggi 3 meter dan seterusnya. Setiap kali menyentuh lantai, bola tersebut akan memantul setinggi 34$\frac{3}{4}$ kali ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan yang terbentuk sampai bola menyentuh lantai untuk yang ke-3 kalinya.

Penyelesaian:

Perhatikan ilustrasi berikut.

Berdasarkan ilustrasi, tampak bahwa ketika bola dijatuhkan dan menyentuh lantai untuk yang ke 3 kali sesungguhnya bola tersebut mengalami 3 kali gerakan turun (panah merah) dan 2 kali gerakan naik (panah biru).

• Barisan yang terbentuk saat bola turun (ditunjukkan oleh panah warna merah) adalah 4,(34$\frac{3}{4}$) 4, (34)2$(\frac{3}{4}{)}^2$ (4),... = 4, 3, 94$\frac{9}{4}$, ....

Barisan ini adalah barisan geometri turun dengan a = 4 dan r =34$\frac{3}{4}$
Oleh karena terdapat 3 kali gerakan turun (n = 3), maka panjang lintasan yang terbentuk saat bola turun (S3) adalah

• Barisan yang terbentuk saat bola naik (ditunjukkan oleh panah warna biru) adalah (34$\frac{3}{4}$) 4 , (34)2$(\frac{3}{4}{)}^2$ (4), ... = 3, 94$\frac{9}{4}$, .... 

Barisan ini adalah barisan geometri turun dengan a = 3 dan r =34$\frac{3}{4}$

Oleh karena terdapat 2 kali gerakan naik (n = 2), maka panjang lintasan yang terbentuk saat bola naik (S2) adalah

Jadi, panjang lintasan yang terbentuk sampai bola menyentuh lantai untuk yang ke 3 kalinya adalah 14, 5 meter.

Latihan

1. Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….


2. Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?


3. Tentukan tiga suku pertama pada barisan-barisan berikut ini, jika suku umum ke-n di rumuskan sebagai berikut: a. Un = 4n+1 b. Un = 2n2 – 1 c. Un = 1 – 2n


4. Tentukan rumus umum ke – n dari barisan-barisan berikut ini:
a. 2, 4, 8, 16, 32, …
b. 4, 6, 8, 10, …

5. Diketahui barisan geometri, U2=14 dan U4=56, tentukan a dan rasionya?

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Baris

Baris adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

contoh
3, 5, 7, 9, 11, … .
2,5,8,11,14,17,. . .

Deret

Deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Jika suatu barisan maka adalah Deret.

Contoh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5, ... + Un
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + Un.

Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b”
Contoh:
3, 6, 9, 12, 15.

Barisan diatas merupakan barisan aritmatika karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 15 – 12 = 3. Nah 3 inilah yang dinamakan beda.

Bentuk umum barisan aritmatika:

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), …, (a+(n-1)b)

Beda: b = U_n - U_n-1

Suku ke-n: U_n= a + (n - 1)b

atau U_n= S_n - S_n-1

Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n
Contoh soal:

1. Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 4 dan bedanya = 3, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …
   Penyelesaian:
   a = 3
   b = 4
   n = 10
   U_n= a + (n - 1)b
   U₁₀= 3 + (10 - 1)4
   U₁₀= 3 + 9.4
   U₁₀= 3+36
   U_n= 39
   
2. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, … , tentukan nilai suku ke-15 !
   Penyelesaian:
   a = 5
   b = 3
   n = 15
   U_n= a + (n - 1)b
   U₁₅= 5 + (15 - 1)3
   U₁₅= 5 + 14.3
   U₁₀= 5 + 42
   U_n= 47
   
3. Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya adalah 4 dan suku ke-20 adalah 61. Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!
   Penyelesaian:
   U₂₀= 61
   a = 4
   b = ?
   U_n= a + (n - 1)b
   61 = 4 + (20 - 1)b
   61 = 4 + (19)b
   61 - 4 = 19 b
   57 = 19b
   b = 57/19
   b = 3
   

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:

U_t= 1/2 (a + U_n)

Contoh soal:

Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah …
Penyelesaian:
barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131
suku pertama, a = 5
suku ke-n, Un = 131 suku tengah: U_t= 1/2 (a + U_n)
U_t= 1/2 (5 + 131)
U_t= 1/2 (136)
U_t= 68

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Bentuk umum deret aritmatika:

a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b

Rumus:
S_n=n/2(a + U_n)
atau

 S_n=n/2(2a + (a + (n - 1)b)

keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama

Contoh soal:
Diketahui deret aritmatika sebagai berikut,10 + 13 + 16 + . . . +U10

Tentukan:
a. Suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama
Penyelesaian:
a. Suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama:

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:

• Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:

• Banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku:

n' = n  + ( n - 1 )k

• Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku:

Sn = n' / 2 (  a + Un )

Keterangan:
b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
Sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku

Contoh Soal:
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …

Penyelesaian:
Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116
a = 20
Un = 116
n = 2 k = 11 bilangan
banyaknya suku baru : n’ = n + (n-1) k
= 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13
Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

SOAL LATIHAN

1. Suku ke 4 dan suku ke 9 suatu barisan aritmatika berturut turut 110 dan 150 suku ke 30 dari barisan tersebut adalah . . . .
   A.308
   > B.318
   C.326
   D.344
   


2. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 5 adalah 22 dan suku ke 12 adalah 57,maka suku ke 15 dari barisan ini adalah . . . .
   A.68
   B.72
   C.78
   D.84
   


3. suku ke 4 dan suku ke 7 dari barisan aritmatika berturut turut 17 dan 29 maka suku ke 25 adalah . . . .
   A.97
   B.101
   C.105
   D.109
   


4. Suku ke 2 dan suku ke 5 berturut turut 5 dan 14 maka suku ke 20 adalah . . . .
   A.59
   B.62
   C.64
   D.68
   


5. Suku ke 4 dan suku ke 6 berturut turut 7 dan 23 maka suku ke 20 adalah . . . .
   A.20
   B.21
   C.28
   D.31
   


6. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 0, 4, 10, 18.... adalah....
   A. 1/2 n (n + 1)
   B. 2n (n + 1)
   C. (n − 1)(n + 2)
   D. (n + 1)(n + 2)
   
7. Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 buah, baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga 16 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah....
   A. 28 buah
   B. 50 buah
   C. 58 buah
   D. 60 buah
   


8. Pada tumpukan batu bata, banyak batu bata paling atas ada 8 buah, tepat di bawahnya ada 10 buah, dan seterusnya setiap tumpukan di bawahnya selalu lebih banyak 2 buah dari tumpukan di atasnya. Jika ada 15 tumpukan batu bata (dari atas sampai bawah), berapa banyak batu bata pada tumpukan paling bawah ?
   A. 35 buah
   B. 36 buah
   C. 38 buah
   D. 40 buah
   


9. Perhatikan gambar pola berikut!
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   Banyak lingkaran pada pola ke-10 adalah....
   A. 99 buah
   B. 104 buah
   C. 115 buah
   D. 120 buah
   


10. Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah....
    A. –27
    B. –21
    C. –15
    D. –9
    


11. Budi sedang menumpuk kursi yang tingginya masing-masing 90 cm. Tinggi tumpukan 2 kursi 96 cm, dan tinggi tumpukan 3 kursi 102 cm. Tinggi tumpukan 10 kursi adalah....
    A. 117 cm
    B. 120 cm
    C. 144 cm
    D. 150 cm
    


12. Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah....
    A. 80
    B. 70
    C. 60
    D. 50 
13. Perhatikan gambar pola di bawah.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Banyak lingkaran pada pola ke–20 adalah....
    A. 380
    B. 420
    C. 462
    D. 506
    
    
14. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah....
    A. 24, 15
    B. 24, 16
    C. 25, 17
    D. 25, 18
    


15. Diketahui Un = 2n2 − 5. Nilai dari U4 + U5 adalah....
    A. 154
    B. 82
    C. 72
    D. 26
    


16. Dua suku berikutnya dari barisan 3, 4, 6, 9, adalah....
    A. 13, 18
    B. 13, 17
    C. 12, 26
    D. 12, 15
    


17. Dari barisan aritmetika diketahui u3 = 18 dan u7 = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah....
    A. 786
    B. 1248
    C. 1572
    D. 3144
    
    
18. Amuba membelah diri menjadi dua setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 15 amuba, maka setelah 2 jam banyak amuba menjadi.....
    A. 2120
    B. 1920
    C. 960
    D. 480
    
    
19. Suatu barisan aritmetika, suku ke-3 = 14 dan suku ke-7 = 30. Jumlah 30 suku pertama adalah...
    A. 1.290
    B. 1.920
    C. 3.840
    D. 3.480
    
    
20. Diketahui barisan bilangan −3, 1, 5, 9, 13,.... . Suku ke-52 adalah...
    A. 201
    B. 207
    C. 208
    D. 215
    
    
21. Diketahui barisan bilangan 8, 4, 2, 1,.... Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah....
    A. 2n + 2
    B. 2n − 4
    C. 2−n + 4
    D. 2n − 1
    
    
22. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U5 = 7 dan U8 = 13. Suku ke-20 adalah….
    A. 39
    B. 37
    C. – 37
    D. – 39
    
    
23. Dari barisan aritmetika diketahui U3 = 18 dan U7 = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah....
    A. 786
    B. 1.248
    C. 1.572
    D. 3.144
    
    
24. Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruang sidang tersebut adalah….
    A. 555
    B. 385
    C. 1.110
    D. 1.140
    
    
25. Diketahui barisan bilangan: 3, 8, 13, 18, 23,....
    Suku ke-32 adalah.....
    A. 465
    B. 168
    C. 158
    D. 153
    
    
26. Seutas tali dibagi menjadi enam bagian, sehingga bagian-bagiannya membentuk barisan geometri. Jika panjang tali terpendek 9 cm dan panjang tali terpanjang 288 m, maka panjang tali mula-mula adalah....
    A. 567 m
    B. 576 m
    C. 586 m
    D. 596 m
    
    
27. Jumlah bilangan kelipatan 4 antara 200 dan 400 adalah....
    A. 9.504
    B. 14.300
    C. 14.604
    D. 14.700
    

bilangan berpangkat dan Bentuk akar

Bilangan berpangkat

BENTUK AKAR
Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti: , 5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional
Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan irasional

1.Operasi Hitung Bentuk Akar

Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan.. 

a.Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh – contoh berikut.

Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapat dirumuskan sebagai berikut. Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku hubungan:

  

 b. Perkalian Bentuk Akar

     Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlaku sifat perkalian berikut.

Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

 

 

c. Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar

Bentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapun pemangtkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat.

2) Pemangkatan bentuk dengan pangkat negatif
Bentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya dengan bilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:

Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebut akan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk akar dengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah






Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengan a > 0, a ≠ 1
a. Hubungan dengan pangkat pecahan
Perhatikan pembahasan berikut.

































Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka

D. Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat

Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut.

1. Merasionalkan Bentuk

Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3, yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar:







Selanjutnya pecahan diubah bentuknya dengan memanipulasi aljabar.